Алгебра
Геометрия
Русский язык
Иностранный
География
Биология
Химия
Литература
Информатика
История
Физика иУрок 4. Алгебра 8 класс. Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными
Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеют вид:
где a, b, c, d, e, f – заданные числа; x, y – неизвестные. Числа a, b, d, e – коэффициенты при неизвестных; c, f – свободные члены. Решение этой системы уравнений может быть найдено двумя основными методами.
Метод подстановки.
1) Из одного уравнения выражаем одно из неизвестных, например x, через коэффициенты и другое неизвестное y:
x = ( c – by ) / a . (2)
2) Подставляем во второе уравнение вместо x :
d ( c – by ) / a + ey = f .
3) Решая последнее уравнение, находим y :
y = ( af – cd ) / ( ae – bd ).
4) Подставляем это значение вместо y в выражение (2) :
x = ( ce – bf ) / ( ae – bd ) .
П р и м е р . Решить систему уравнений:
Из первого уравнения выразим х через коэффициенты и y :
x = ( 2y + 4 ) / 3 .
Подставляем это выражение во второе уравнение и находим y :
( 2y + 4 ) / 3 + 3y = 5 , откуда y = 1 .
Теперь находим х, подставляя найденное значение вместо y в
выражение для х: x = ( 2 · 1 + 4 ) / 3, откуда x = 2 .
Сложение или вычитание. Этот метод состоит в следующем.
1) Умножаем обе части 1-го уравнения системы (1) на (– d ), а обе части 2-го уравнения на а и складываем их:
Отсюда получаем: y = ( af – cd ) / ( ae – bd ).
2) Подставляем найденное для y значение в любое уравнение системы (1):
ax + b( af – cd ) / ( ae – bd ) = c.
3) Находим другое неизвестное: x = ( ce – bf ) / ( ae – bd ).
П р и м е р . Решить систему уравнений:
методом сложения или вычитания.
Умножаем первое уравнение на –1, второе – на 3 и складываем их:
отсюда y = 1. Подставляем это значение во второе уравнение
(а в первое можно?): 3x + 9 = 15, отсюда x = 2.
Определители второго порядка. Мы видели, что формулы для решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеют вид:
x = ( ce – bf ) / ( ae – bd ) ,
(3)
y = ( af – cd ) / ( ae – bd ) .
Эти формулы легко запоминаются, если ввести для их числителей и знаменателей следующий символ:
, который будет обозначать выражение: ps – qr .
Это выражение получается перекрёстным умножением чисел p, q, r, s :
и последующим вычитанием одного произведения из другого: ps – qr. Знак « + » берётся для произведения чисел, лежащих на диагонали, идущей из левого верхнего числа к правому нижнему; знак « – » - для другой диагонали, идущей из правого верхнего числа к левому нижнему. Например,
Выражение
называется определителем второго порядка.
Правило Крамера. Используя определители, можно переписать формулы (3):
Формулы (4) называются правилом Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
П р и м е р . Решить систему уравнений
используя правило Крамера.
Р е ш е н и е . Здесь a = 1, b = 1, c = 12, d = 2, e = –3, f = 14 .
Исследование решений системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными, показывает, что в зависимости от коэффициентов уравнений возможны три различных случая:
1) коэффициенты при неизвестных не пропорциональны: a : d ≠ b : e ,
в этом случае система линейных уравнений имеет единственное решение, получаемое по формулам (4);
2) все коэффициенты уравнений пропорциональны: a : d = b : e = c : f ,
в этом случае система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений, так как здесь мы имеем фактически одно уравнение вместо двух.
П р и м е р . В системе уравнений
и эта система уравнений имеет бесконечное множество решений.
Разделив первое уравнение на 2, а второе – на 3, мы получим два
одинаковых уравнения:
т.е. фактически одно уравнение с двумя неизвестными, у которого
бесконечное множество решений.
3) коэффициенты при неизвестных пропорциональны, но не пропорциональны свободным членам: a: d = b: e ≠ c: f,
в этом случае система линейных уравнений не имеет решений, так как мы имеем противоречивые уравнения.
П р и м е р . В системе уравнений
но отношение свободных членов 7 / 12 не равно 1 / 3.
Почему эта система не имеет решений? Ответ очень простой.
Разделив второе уравнение на 3, мы получим:
Уравнения этой системы противоречивы, потому что одно и то
же выражение 2x – 3y не может быть одновременно равно и 7, и 4.
где a, b, c, d, e, f – заданные числа; x, y – неизвестные. Числа a, b, d, e – коэффициенты при неизвестных; c, f – свободные члены. Решение этой системы уравнений может быть найдено двумя основными методами.
Метод подстановки.
1) Из одного уравнения выражаем одно из неизвестных, например x, через коэффициенты и другое неизвестное y:
x = ( c – by ) / a . (2)
2) Подставляем во второе уравнение вместо x :
d ( c – by ) / a + ey = f .
3) Решая последнее уравнение, находим y :
y = ( af – cd ) / ( ae – bd ).
4) Подставляем это значение вместо y в выражение (2) :
x = ( ce – bf ) / ( ae – bd ) .
П р и м е р . Решить систему уравнений:
Из первого уравнения выразим х через коэффициенты и y :
x = ( 2y + 4 ) / 3 .
Подставляем это выражение во второе уравнение и находим y :
( 2y + 4 ) / 3 + 3y = 5 , откуда y = 1 .
Теперь находим х, подставляя найденное значение вместо y в
выражение для х: x = ( 2 · 1 + 4 ) / 3, откуда x = 2 .
Сложение или вычитание. Этот метод состоит в следующем.
1) Умножаем обе части 1-го уравнения системы (1) на (– d ), а обе части 2-го уравнения на а и складываем их:
Отсюда получаем: y = ( af – cd ) / ( ae – bd ).
2) Подставляем найденное для y значение в любое уравнение системы (1):
ax + b( af – cd ) / ( ae – bd ) = c.
3) Находим другое неизвестное: x = ( ce – bf ) / ( ae – bd ).
П р и м е р . Решить систему уравнений:
методом сложения или вычитания.
Умножаем первое уравнение на –1, второе – на 3 и складываем их:
отсюда y = 1. Подставляем это значение во второе уравнение
(а в первое можно?): 3x + 9 = 15, отсюда x = 2.
Определители второго порядка. Мы видели, что формулы для решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеют вид:
x = ( ce – bf ) / ( ae – bd ) ,
(3)
y = ( af – cd ) / ( ae – bd ) .
Эти формулы легко запоминаются, если ввести для их числителей и знаменателей следующий символ:
, который будет обозначать выражение: ps – qr .
Это выражение получается перекрёстным умножением чисел p, q, r, s :
и последующим вычитанием одного произведения из другого: ps – qr. Знак « + » берётся для произведения чисел, лежащих на диагонали, идущей из левого верхнего числа к правому нижнему; знак « – » - для другой диагонали, идущей из правого верхнего числа к левому нижнему. Например,
Выражение
Правило Крамера. Используя определители, можно переписать формулы (3):
Формулы (4) называются правилом Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
П р и м е р . Решить систему уравнений
используя правило Крамера.
Р е ш е н и е . Здесь a = 1, b = 1, c = 12, d = 2, e = –3, f = 14 .
Исследование решений системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными, показывает, что в зависимости от коэффициентов уравнений возможны три различных случая:
1) коэффициенты при неизвестных не пропорциональны: a : d ≠ b : e ,
в этом случае система линейных уравнений имеет единственное решение, получаемое по формулам (4);
2) все коэффициенты уравнений пропорциональны: a : d = b : e = c : f ,
в этом случае система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений, так как здесь мы имеем фактически одно уравнение вместо двух.
П р и м е р . В системе уравнений
и эта система уравнений имеет бесконечное множество решений.
Разделив первое уравнение на 2, а второе – на 3, мы получим два
одинаковых уравнения:
т.е. фактически одно уравнение с двумя неизвестными, у которого
бесконечное множество решений.
3) коэффициенты при неизвестных пропорциональны, но не пропорциональны свободным членам: a: d = b: e ≠ c: f,
в этом случае система линейных уравнений не имеет решений, так как мы имеем противоречивые уравнения.
П р и м е р . В системе уравнений
но отношение свободных членов 7 / 12 не равно 1 / 3.
Почему эта система не имеет решений? Ответ очень простой.
Разделив второе уравнение на 3, мы получим:
Уравнения этой системы противоречивы, потому что одно и то
же выражение 2x – 3y не может быть одновременно равно и 7, и 4.
Еще из категории: 8 класс » 8 класс математика » Уроки 8 класс по алгебре | Автор: admin
Ссылка на страницу для своего ЖЖ или блога:
HTML-код:
BBCode:
Ссылка:
Новости по теме:
В наших фирменных магазинах Гардиан действуют специальные цены на входные двери Гардиан - 9500 рублей; на огнестойкие двери - 12500 рублей. форрпост 233вс. Стальные двери «гардиан» с доставкой и установкой в москве.
Литература на иностранных языках Антоновский В. Л 91Z.RU Торговый центр.
Хорошее здоровье – основа долгой, счастливой и полноценной жизни - Справочник по болезням.
Ковровое покрытие Карусель (НОВИНКА) Mir u nog.
Платежные системы Антоновский В. Л 91Z.RU Торговый центр.
Хорошее здоровье – основа долгой, счастливой и полноценной жизни - Справочник по болезням.
Керамогранит mir u nog.
Хорошее здоровье – основа долгой, счастливой и полноценной жизни - Справочник по болезням.
Ковровое покрытие Карусель (НОВИНКА) Mir u nog.
Платежные системы Антоновский В. Л 91Z.RU Торговый центр.
Хорошее здоровье – основа долгой, счастливой и полноценной жизни - Справочник по болезням.
Керамогранит mir u nog.
Приветствую владелец vshkole5.ru !
Хочу купить у Вас рекламу на Вашем сайте. Подробности и расценки тут - http://www.step-two.ru/2010/02/sistema-buypost/
Хочу купить у Вас рекламу на Вашем сайте. Подробности и расценки тут - http://www.step-two.ru/2010/02/sistema-buypost/
В наше срок некоторый пользователи козни интернет пытаются натыкаться постоянно больше и больше Задать альтернатива воеже себя соответственно многим вопросам приличный предположим: ответ ru, как сталкиваться человека мир имени или задать вопрос для лубую тему используя поисковые системы.
Мы в свою очередь приглашаем Вас посетить наш форум http://otvetnemail.ru/ где вы сможите видаться ответы для 1000 и более вопросов которые возникают у Вас такие вроде Вопросы и ответы майл.
Приглашем Вас посетить нас и убедиться в этом самим для форуме www.otvetnemail.ru
Мы в свою очередь приглашаем Вас посетить наш форум http://otvetnemail.ru/ где вы сможите видаться ответы для 1000 и более вопросов которые возникают у Вас такие вроде Вопросы и ответы майл.
Приглашем Вас посетить нас и убедиться в этом самим для форуме www.otvetnemail.ru
Кролики, кролиководство, разведение кроликов, кормление кроликов, породы кроликов, кролики бизнес план. удобрения из кухонных отходов
а ВЫ любите свой компьютер?))))))..(см)
recuva скачать бесплатно
электронная почта outlook 2007-как отправить письмо
Скорость интернета 40 Мбит.сек - это много? Скорость интернета 40 Мбит.сек - это много? Быстрый ли интернет?
заставляем компьютер говорить
как создать профиль на компе
recuva скачать бесплатно
электронная почта outlook 2007-как отправить письмо
Скорость интернета 40 Мбит.сек - это много? Скорость интернета 40 Мбит.сек - это много? Быстрый ли интернет?
заставляем компьютер говорить
как создать профиль на компе
Пластиковые окна по цене производителя. Остекление балконов, лоджий.
traveling credit card refund no credit check phone companies. auto insurance quote bad credit mortgage, payday loans for bad credit. credit card comparison us illinois 2009 property tax credit.
state employees credit union asheville nc line of credit. cdr credit balance. credit problems ok tax credit electric cars.
state employees credit union asheville nc line of credit. cdr credit balance. credit problems ok tax credit electric cars.
Свет стоит до тьмы, а тьма до свету.
geigo auto insurance auto insurance canada quotes. changes in auto insurance in florida, best auto insurance Oregon. budget car insurance group, car buy car insurance online.
lotus elan car insurance auto insurance state farm car insurance. no claims car insurance. compare auto insurance costs century car 21 insurance.
lotus elan car insurance auto insurance state farm car insurance. no claims car insurance. compare auto insurance costs century car 21 insurance.
• Сотрудничает с большинством Российских и зарубежных авиакомпаний, таких как: Аэрофлот, Трансаэро, авиакомпания Сибирь (S7), KLM Lufthansa и многих других..
1. Авиакомпания Аэрофлот является крупнейшей российской авиакомпанией и основана в 1923 году;
2. Международная Авиакомпания «Сибирь» входит в 50 крупнейших авиакомпаний мира по объему перевозок;
3. Авиакомпания «Трансаэро» является первой частной Российской авиакомпанией, основана в 1991 году;
• Предлагает наиболее интересную стоимость на билеты авиакомпании Аэрофлот;
• Предлагает специальные условия для корпоративных клиентов, в том числе от Аэрофлота.
Добро пожаловать к нам на сайт на которые Вы круглосуточно сможете найти авиабилеты дешево на сайте www.avia.recepti.tv
1. Авиакомпания Аэрофлот является крупнейшей российской авиакомпанией и основана в 1923 году;
2. Международная Авиакомпания «Сибирь» входит в 50 крупнейших авиакомпаний мира по объему перевозок;
3. Авиакомпания «Трансаэро» является первой частной Российской авиакомпанией, основана в 1991 году;
• Предлагает наиболее интересную стоимость на билеты авиакомпании Аэрофлот;
• Предлагает специальные условия для корпоративных клиентов, в том числе от Аэрофлота.
Добро пожаловать к нам на сайт на которые Вы круглосуточно сможете найти авиабилеты дешево на сайте www.avia.recepti.tv
Вот уже приближаются новогодние праздники, и хотелось бы узнать что Вы планируете готовить на новй год?
А так же хотел предложить свой выбор и спросить что из этого лучше выбрать для праздничного стола:
салат подсолнух
ленивые голубцы рецепт
плов
тирамису рецепт
оливье
торт зебра
Что будет лучше по Вашему мнению????
И на последок хотел спросит на сколько эффективна диета ксении бородиной???
А так же хотел предложить свой выбор и спросить что из этого лучше выбрать для праздничного стола:
салат подсолнух
ленивые голубцы рецепт
плов
тирамису рецепт
оливье
торт зебра
Что будет лучше по Вашему мнению????
И на последок хотел спросит на сколько эффективна диета ксении бородиной???
футболка rancid бархатный блейзер. Я встречал людей, внезапно вспоминавших прошлые события и сопутствовавшую им боль. концерн дубки саратов вакансии. пух скатался в пуховике, гбо павлодар просмотр.
Алекс покачал головой и улыбнулся, хотя сердце его сжималось от страха. Чтото не давало смотреть в зеркало заднего обзора. На свете нет ничего более опьяняющего, чем свобода! футболка airborne. Я вынул меч изпод накидки. Из собственного опыта он знал, что, подобно другим фирмам, эти тоже будут долго ходить вокруг да около, пока всем не станет неловко и других тем для беседы не останется.
роснефть вакансия оператор азс ооо алекстранс г.александров. Археолог почти не почувствовал боли, но тошнотворный звук ломающихся пальцев заставил его вскрикнуть. тагилработа.ру. работа оператор сейсмостанции ооо газпром геофизика пуховики на ленинском.
Алекс покачал головой и улыбнулся, хотя сердце его сжималось от страха. Чтото не давало смотреть в зеркало заднего обзора. На свете нет ничего более опьяняющего, чем свобода! футболка airborne. Я вынул меч изпод накидки. Из собственного опыта он знал, что, подобно другим фирмам, эти тоже будут долго ходить вокруг да около, пока всем не станет неловко и других тем для беседы не останется.
роснефть вакансия оператор азс ооо алекстранс г.александров. Археолог почти не почувствовал боли, но тошнотворный звук ломающихся пальцев заставил его вскрикнуть. тагилработа.ру. работа оператор сейсмостанции ооо газпром геофизика пуховики на ленинском.
Всего несколько лет назад, для того, чтобы посмотреть интересные фильмы, нужно было идти в кинотеатр, тратить там свои деньги или же, ждать, пока что-то стоящее выйдет на телевизионные экраны. Конечно, можно было купить кассеты в магазинах или взять их на прокат, но такую роскошь как видеомагнитофон, могла себе позволить далеко не каждая семья. Потому, приходилось мириться с тем, что было и просто ждать.
Теперь же, любители кино могут не волноваться о том, что когда они захотят что-то просмотреть, то у них возникнут какие-то трудности. Ведь на нашем сайте, можно смотреть фильмы онлайн в любое удобное для вас время. Тем более, что мы постоянно работаем над тем, чтобы сделать его еще более привлекательным для пользователей. Поиск нужной картины не займет у вас много времени, ведь все они распределены по жанрам. Мы постоянно работаем над обновлением базы, потому не мудрено, что уже завтра, на просторах нашего сайта могут появиться киноленты,
кинотеатр онлайн хорошее качество бесплатно
Теперь же, любители кино могут не волноваться о том, что когда они захотят что-то просмотреть, то у них возникнут какие-то трудности. Ведь на нашем сайте, можно смотреть фильмы онлайн в любое удобное для вас время. Тем более, что мы постоянно работаем над тем, чтобы сделать его еще более привлекательным для пользователей. Поиск нужной картины не займет у вас много времени, ведь все они распределены по жанрам. Мы постоянно работаем над обновлением базы, потому не мудрено, что уже завтра, на просторах нашего сайта могут появиться киноленты,
кинотеатр онлайн хорошее качество бесплатно
У нас на сайте вы найдете: самый лучшие фильмы 2012
Вот это да тиреласкру
fovati.ru Сайт хорош расскажу друзьям.
Откужа это? сами написали bazabest.ru
Вот это да тиреласкру
fovati.ru Сайт хорош расскажу друзьям.
Откужа это? сами написали bazabest.ru
Вот это да тиреласкру
fovati.ru Сайт хорош расскажу друзьям.
Откужа это? сами написали bazabest.ru
Вот это да тиреласкру
fovati.ru Сайт хорош расскажу друзьям.
Откужа это? сами написали bazabest.ru
fovati.ru Сайт хорош расскажу друзьям.
Откужа это? сами написали bazabest.ru
Вот это да тиреласкру
fovati.ru Сайт хорош расскажу друзьям.
Откужа это? сами написали bazabest.ru
Вот это да тиреласкру
fovati.ru Сайт хорош расскажу друзьям.
Откужа это? сами написали bazabest.ru
Вот это да тиреласкру
fovati.ru Сайт хорош расскажу друзьям.
Откужа это? сами написали bazabest.ru
Спасибо Пофумитер
Наконец нашол Кинтелук.
лопенитек рус
Спасибо Пофумитер
Наконец нашол Кинтелук.
лопенитек рус
Спасибо Пофумитер
Наконец нашол Кинтелук.
лопенитек рус
Спасибо Пофумитер
Наконец нашол Кинтелук.
лопенитек рус
Наконец нашол Кинтелук.
лопенитек рус
Спасибо Пофумитер
Наконец нашол Кинтелук.
лопенитек рус
Спасибо Пофумитер
Наконец нашол Кинтелук.
лопенитек рус
Спасибо Пофумитер
Наконец нашол Кинтелук.
лопенитек рус
а вот отсюда вы сможете скачать симуляторы на большой скоростикак вы считаете стоит ли скачать игру Ведьма в зеркале 1.0 (2010/RUS) быстро через торрентнедавно друг подсказал Nikopol Secrets of the Immortals (2010/РС/Rus) бесплатно без смс и оказался прав
[img]http://www.albatros02.ru/images/dom.jpg[/img]
Пленочные системы отопления можно использовать для отопления квартир, коттеджей, саун, балконов, лоджий, промышленных помещений, складов, гаражей, лечебно-профилактических, образовательных, дошкольных учреждений и др. ПСО монтируется на потолочную поверхность и таким образом используется как основное отопление
терморегулятор мпрт 11
2744844@mail ru
материелы для межэтаэного утепления
терморегулятор с датчиком ds1821 электросхема
Пленочные системы отопления можно использовать для отопления квартир, коттеджей, саун, балконов, лоджий, промышленных помещений, складов, гаражей, лечебно-профилактических, образовательных, дошкольных учреждений и др. ПСО монтируется на потолочную поверхность и таким образом используется как основное отопление
терморегулятор мпрт 11
2744844@mail ru
материелы для межэтаэного утепления
терморегулятор с датчиком ds1821 электросхема
Кk.xb активации для фотошоп cs5 кряк скачать фотошоп5 вечные ключи на фотошоп сы5 .
Первая социальная средняя общеобразовательная интернет школа – это сообщество высокопрофессиональных педагогов и учащихся, для которых собственное образование является наиважнейшим аспектом развития в современном обществе.
Школьники на страницах сайта найдут весь необходимый материал для обучения следующим дисциплинам: алгебра, геометрия, физика, химия, биология, русский язык, литература, физика, астрономия, география, английский язык, немецкий язык и другие иностранные языки. Сайт будет не заменим тем, кто хочет получить дополнительное образование и закрепить пройденный в школе материал. В качестве учебного материала собраны лекции и уроки практикующих преподавателей, решебники с примерами задач, коллекции рефератов и докладов, отсортированных по предметам.
Преподаватели на страницах общеобразовательной школы могут расширить круг своих учеников, привить знания тем, кто на самом деле нуждается в них, используя свои методики и опыт преподавательской работы.
То, что мы знаем, - ограниченно, а то, чего мы не знаем, - бесконечно. П. Лаплас
3нание - столь драгоценная вещь, что его не зазорно добывать из любого источника. Фома Аквинский
XRumer
085;ый сайт Сайт Ваш что-то недостаточн
086; раскрученны
081; и малочитаем. Можно продвинуть его с помощью программы XRumer 7 Elite (ХРумер 7 Элите) взять можно на http://x-rumer.ru/ говорят убойная программа для оптимизации блог порталов.